高一物理下册万有引力定律专题训练（附解析）

一、选择题

1. 牛顿与万有引力定律的创立

牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。在创建万有引力定律的过程中，牛顿不仅借鉴了前人的研究成果，还通过自己的创新和思考，逐步完善了这一伟大的科学理论。以下是对牛顿创立万有引力定律过程中几个关键步骤的详细分析：

A. 接受胡克等科学家的猜想

牛顿接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想。这个猜想并非凭空而来，而是基于大量天文观测数据的支持。早在牛顿之前，开普勒就已经发现了行星运动的三大定律，这些定律揭示了行星轨道的椭圆性以及它们围绕太阳运动的速度变化规律。

胡克等人根据这些观测结果，提出了引力与距离平方成反比的关系。牛顿在前人工作的基础上，进一步验证和完善了这一猜想，最终将其纳入到万有引力定律中。

B. 物体受地球引力与其质量成正比

牛顿根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即 \( F \propto m \) 的结论。伽利略的自由落体实验已经证明了不同质量的物体在同一地点下落时具有相同的加速度。牛顿将这一现象推广到更广泛的天体力学领域，认为所有物体之间的引力作用都遵循类似的规律。

他通过数学推导和实验验证，得出了引力与质量成正比的结论。

C. 分析地、月间的引力关系

根据 \( F \propto m \) 和牛顿第三定律，牛顿分析了地、月间的引力关系，进而得出 \( F \propto m_1m_2 \)。牛顿第三定律指出，作用力和反作用力大小相等、方向相反。因此，地球对月球的引力与月球对地球的引力是相等且相反的。

牛顿通过计算地、月间的引力关系，发现两者之间的引力不仅与各自的质量有关，还与它们之间的距离平方成反比。这进一步支持了引力公式中的 \( m_1m_2 \) 项。

D. 比例系数 G 的测定

虽然牛顿提出了万有引力定律，但他并没有直接测出比例系数 G 的大小。这一任务留给了后人。

直到1798年，英国科学家亨利·卡文迪许通过著名的扭秤实验，首次较为精确地测定了引力常量 G 的值，约为 \( 6.67 \times 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \)。卡文迪许的实验不仅验证了牛顿的理论，还为后续的天体力学研究提供了重要的基础数据。

牛顿在创立万有引力定律的过程中，不仅继承和发展了前人的研究成果，还通过严密的逻辑推理和实验验证，确立了这一伟大的科学理论。

2. 对万有引力和万有引力定律的理解

关于万有引力和万有引力定律的理解，以下几点需要特别注意：

A. 非质点物体间的引力

不能看做质点的两物体间仍然存在相互作用的引力。尽管对于复杂形状的物体，直接应用万有引力公式可能会比较困难，但通过积分方法或近似处理，仍然可以计算出它们之间的引力。例如，地球并不是一个理想的质点，但我们可以通过将其视为多个质点的组合来计算其对其他物体的引力。

B. 质点间的引力计算

只有能看做质点的两物体间的引力才能用 \( F = \frac{Gm_1m_2}{r^2} \) 计算。这是因为该公式假设两个物体都是质点，即它们的质量集中于一点。对于实际的天体，如行星和恒星，当它们的距离远大于其自身尺寸时，可以近似看作质点进行计算。

但在某些情况下，如近距离的双星系统，必须考虑物体的实际形状和质量分布。

C. 引力随距离的变化

由 \( F = \frac{Gm_1m_2}{r^2} \) 可知，两物体间距离 r 减小时，它们之间的引力确实会增大。这种关系反映了引力随着距离的减小而迅速增强的特点。例如，在黑洞附近，由于距离极短，引力变得极其强大，甚至可以阻止光子逃脱。

D. 引力常量的测定

万有引力常量 G 的大小首先是由卡文迪许测出来的，并非牛顿。牛顿提出的万有引力定律是一个理论框架，而具体的数值测定则依赖于实验技术的发展。卡文迪许的扭秤实验不仅测定了 G 的值，还验证了牛顿的理论，使万有引力定律成为物理学中最重要的定律之一。

3. 地球与月球之间的引力

地球对月球具有相当大的引力，但它们没有靠在一起，这是因为地球对月球的引力不断改变月球的运动方向，使得月球围绕地球运动。具体来说，地球对月球的引力提供了一个向心力，使月球沿着椭圆轨道绕地球运动。如果地球对月球的引力消失，月球将会沿切线方向飞离地球，不再保持当前的轨道。

A. 引力平衡的误解

选项 A 认为地球对月球的引力与月球对地球的引力互相抵消，这是错误的。根据牛顿第三定律，这两个力确实是大小相等、方向相反的，但这并不意味着它们会相互抵消。实际上，这两个力分别作用在不同的物体上，一个是地球对月球的引力，另一个是月球对地球的引力，它们共同维持了地球-月球系统的稳定。

B. 太阳系中其他星球的影响

选项 B 提到太阳系中其他星球对月球也有引力，这些力的合力为零。这也是不准确的。虽然太阳和其他行星确实会对月球产生引力影响，但这些力并不会完全抵消地球对月球的引力。实际上，这些额外的引力会影响月球的轨道，使其变得更加复杂，但不会导致月球脱离地球的引力范围。

C. 引力强度的问题

选项 C 认为地球对月球的引力还不算大，这是错误的。事实上，地球对月球的引力非常强，足以维持月球的轨道运动。正是由于这种强大的引力，月球才得以长期稳定地绕地球运行。

D. 引力改变运动方向

正确答案是 D。地球对月球的引力不断改变月球的运动方向，使得月球围绕地球运动。这种引力提供的向心力确保了月球沿着椭圆轨道绕地球旋转，而不是直线飞离。

4. 行星的向心加速度之比

两个行星的质量分别为 \( m_1 \) 和 \( m_2 \)，它们绕太阳运行的轨道半径分别是 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)。若它们只受太阳引力的作用，那么这两个行星的向心加速度之比为：

根据万有引力公式 \( F = \frac{GmM}{r^2} \)，其中 \( M \) 是太阳的质量， \( r \) 是行星到太阳的距离。向心加速度 \( a \) 可以表示为 \( a = \frac{F}{m} = \frac{GM}{r^2} \)。因此，两个行星的向心加速度之比为：

\[ \frac{a_1}{a_2} = \frac{\frac{GM}{r_1^2}}{\frac{GM}{r_2^2}} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2 \]

由此可见，两个行星的向心加速度之比取决于它们轨道半径的平方比。

5. 引力常量的测定实验

在某次测定引力常量的实验中，两金属球的质量分别为 \( m_1 \) 和 \( m_2 \)，球心间的距离为 \( r \)，若测得两金属球间的万有引力大小为 \( F \)，则此次实验得到的引力常量为：

根据万有引力公式 \( F = \frac{Gm_1m_2}{r^2} \)，可以解出引力常量 \( G \)：

\[ G = \frac{Fr^2}{m_1m_2} \]

通过测量 \( F \)、\( m_1 \)、\( m_2 \) 和 \( r \)，可以计算出 \( G \) 的具体数值。这个实验的关键在于精确测量各个参数，尤其是引力 \( F \) 的微弱值，这对实验设备和技术要求极高。

6. 物体受到的万有引力变化情况

两个质量均为 \( m \) 的星体，其连线的垂直平分线为 MN，O 为两星体连线的中点。一个质量为 \( m \) 的物体从 O 沿 OM 方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是先增大，后减小。

原因如下：当物体位于 O 点时，它到两个星体的距离相等，此时受到的引力合力为零。随着物体逐渐远离 O 点，它到其中一个星体的距离变短，到另一个星体的距离变长，导致引力合力逐渐增大。当物体到达某一位置时，引力合力达到最大值。

之后，随着物体继续远离 O 点，它到两个星体的距离差逐渐减小，引力合力也随之减小。因此，物体受到的万有引力大小变化情况是先增大，后减小。

7. 两球间的万有引力大小

如图所示，两球间的距离为 \( r \)，两球的质量分布均匀，大小分别为 \( m_1 \) 和 \( m_2 \)，半径大小分别为 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)，则两球的万有引力大小为：

根据万有引力公式 \( F = \frac{Gm_1m_2}{r^2} \)，其中 \( r \) 是两球球心间的距离。需要注意的是，即使两球有重叠部分，只要它们的质量分布均匀，仍可以使用上述公式进行计算。因为在这种情况下，两球的引力作用可以看作是两个质点之间的引力作用。

8. 宜居行星的半径与地球半径之比

据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的 6.4 倍，一个在地球表面重量为 600 N 的人在该行星表面的重量将变为 960 N。由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为 2。

具体推导如下：

设地球质量和半径分别为 \( M_E \) 和 \( R_E \)，该行星的质量和半径分别为 \( M_P \) 和 \( R_P \)。根据万有引力公式，物体在地球表面受到的重力为：

\[ F_E = \frac{GM_Em}{R_E^2} \]

同理，在该行星表面受到的重力为：

\[ F_P = \frac{GM_Pm}{R_P^2} \]

已知 \( F_P = 1.6F_E \)，且 \( M_P = 6.4M_E \)，代入上述公式得：

\[ \frac{GM_Pm}{R_P^2} = 1.6 \cdot \frac{GM_Em}{R_E^2} \]

简化后得：

\[ \frac{6.4M_E}{R_P^2} = 1.6 \cdot \frac{M_E}{R_E^2} \]

进一步化简得：

\[ \frac{R_E^2}{R_P^2} = \frac{1}{4} \]

因此：

\[ \frac{R_P}{R_E} = 2 \]

这表明该行星的半径大约是地球半径的两倍。

二、非选择题

9. 向心力与轨道半径的关系

一位同学根据向心力 \( F = m\omega^2r \) 推断，如果人造卫星质量不变，当轨道半径增大到 2 倍时，人造卫星需要的向心力减为原来的 1/2；

另一位同学根据引力公式 \( F \propto \frac{1}{r^2} \) 推断，当轨道半径增大到 2 倍时，人造卫星受到的向心力减小为原来的 1/4。这两个同学谁说的对？为什么？

正确的答案是第二位同学的说法更为准确。理由如下：

根据万有引力公式 \( F = \frac{GMm}{r^2} \)，当轨道半径 \( r \) 增大到 2 倍时，引力确实会减小为原来的 1/4。

另一方面，根据向心力公式 \( F = m\omega^2r \)，当轨道半径增大时，角速度 \( \omega \) 会相应减小，以保持卫星的稳定轨道。因此，向心力也会随之减小。

此外，还需要考虑卫星的轨道速度 \( v \)。根据开普勒第三定律，卫星的轨道速度 \( v \) 与轨道半径 \( r \) 成反比。因此，当轨道半径增大时，轨道速度减小，从而导致向心力也减小。综合以上因素，当轨道半径增大到 2 倍时，人造卫星受到的向心力确实会减小为原来的 1/4。

10. 航天飞机与人造地球卫星的高度计算

利用航天飞机，宇航员可以到太空维修出现故障的人造地球卫星。已知一颗人造地球卫星在离地高度一定的圆轨道上运行。当航天飞机接近这颗卫星并与它运行情况基本相同时，速度达到了 6.4 km/s。

取地球半径为 \( R = 6400 \, \text{km} \)，地球表面的重力加速度为 \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \)，试求这颗卫星离地面的高度。

首先，根据圆周运动的向心力公式 \( F = \frac{mv^2}{r} \)，其中 \( v \) 是卫星的速度，\( r \) 是卫星到地球中心的距离。同时，根据万有引力公式 \( F = \frac{GMm}{r^2} \)，可以得出：

\[ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \]

简化后得：

\[ \frac{GM}{r} = v^2 \]

已知 \( v = 6.4 \, \text{km/s} = 6400 \, \text{m/s} \)，代入上述公式得：

\[ \frac{GM}{r} = (6400)^2 \]

又知道地球表面的重力加速度 \( g = \frac{GM}{R^2} \)，可以求得 \( GM = gR^2 \)。将 \( GM \) 代入上式得：

\[ \frac{gR^2}{r} = (6400)^2 \]

代入 \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \) 和 \( R = 6400 \, \text{km} = 6.4 \times 10^6 \, \text{m} \)，解得：

\[ \frac{9.8 \times (6.4 \times 10^6)^2}{r} = (6400)^2 \]

解方程得：

\[ r \approx 7.07 \times 10^6 \, \text{m} \]

因此，卫星离地面的高度为：

\[ h = r - R = 7.07 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6 = 670 \, \text{km} \]

这颗卫星离地面的高度约为 670 公里。