高二数学上册期末试卷
篇1：高二数学上册期末试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．准线为x=﹣2的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=﹣8x B．y2=8x C．x2=8y D．x2=﹣8y
2．设x∈R，则x＞e的一个必要不充分条件是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
3．不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为 ，则实数a，b的值为（ ）
A．a=﹣8，b=﹣10 B．a=﹣1，b=9 C．a=﹣4，b=﹣9 D．a=﹣1，b=2
4．已知函数f（x）=（x﹣3）ex，则f′（0）=（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．4
5．首项a1＞0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=S12，则Sn取得值时n的值为（ ）
A．7 B．8或9 C．8 D．10
6．椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，恰好是含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
7．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+log35
8．下列命题为真命题的是（ ）
A．已知x，y∈R，则 是 的充要条件
B．当0＜x≤2时，函数y=x﹣ 无值
C．a，b∈R，
D．x∈R，sinx+cosx=
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，则下列关系一定不成立的是（ ）
A．a=c B．b=c C．2a=c D．a2+b2=c2
10．已知函数f（x）=（1﹣ ）ex，若同时满足条件：
①x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，8] B．[8，+∞） C．（﹣∞，0）∪[8，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，8]
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．命题“x∈N，x2≠x”的否定是 ．
12．在△ABC中，若BC=3，∠A= ，AC= ，则∠C的大小为 ．
13．曲线f（x）=xsin x在点（ ， ）处的切线方程是 ．
14．已知函数f（x）的定义域为[1，+∞），且f（2）=f（4）=1，f′（x）是f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则不等式组 所表示的平面区域的面积是 ．
15．以下几个命题中：其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
①设A，B为两个定点，k为非零常数，| |﹣| |=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线；＜
③双曲线 与椭圆 有相同的焦点；
④若方程2x2﹣5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．已知命题p：x0∈R，使得 成立；命题q：函数y=loga（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；
（1）若命题￢p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．
（Ⅰ）若 ，B=60°，求a，b，c的值；
（Ⅱ）求角B的取值范围．
18．已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|= ，|PF2|= ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．
19．数列{an}满足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0（n≥1）．记 ．
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn．
20．一个截面为抛物线形的旧河道（如图1），河口宽AB=4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形（如图2），要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．
（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；
（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？
21．如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范围．
-学年山东省淄博市高青县高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．准线为x=﹣2的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2=﹣8x B．y2=8x C．x2=8y D．x2=﹣8y
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案．
【解答】解：由题意可知： =2，∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上
故可设抛物线的标准方程为：y2=2px
将p代入可得y2=8x
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力．属基础题．
2．设x∈R，则x＞e的一个必要不充分条件是（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
【考点】必要条件．
【专题】规律型．
【分析】根据必要不充分的定义即可得到结论．
【解答】解：当x＞1时，满足条件．
x＜1是x＞e的既不必要也不充分条件．
x＞3是x＞e的充分不必要条件．
x＜3是x＞e的既不必要也不充分条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用定义是解决本题的关键，比较基础．
3．不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为 ，则实数a，b的值为（ ）
A．a=﹣8，b=﹣10 B．a=﹣1，b=9 C．a=﹣4，b=﹣9 D．a=﹣1，b=2
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为 ，可得 解出即可．
【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2≥0的解集为 ，
∴
解得a=﹣4，b=﹣9．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
4．已知函数f（x）=（x﹣3）ex，则f′（0）=（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D． 4
【考点】导数的运算．
【专题】导数的综合应用．
【分析】根据函数的导数公式直接进行求导，然后即可求f'（0）的值．
【解答】解：∵f（x）=（x﹣3）ex，
∴f'（x）=ex+（x﹣3）ex=（x﹣2）ex，
∴f'（0）=（0﹣2）e0=﹣2，
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式以及导数的运算法则，比较基础．
5．首项a1＞0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=S12，则Sn取得值时n的值为（ ）
A．7 B．8或9 C．8 D．10
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由已知条件利用等差数列前n项和公式求出a1=﹣8d，再结合题设条件推导出Sn= ，由此利用二次函数的对称性能求出结果．
【解答】解：∵首项a1＞0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5=S12，
∴ ，
解得a1=﹣8d，
∵a1＞0，
∴d＜0，
∴
= ，
∵d＜0，
∴Sn是一个关于n的开口向下的抛物线，
∵S5=S12，
∴由二次函数的对称性知：
当 ，即n=8或n=9时，Sn取得值．
故选B．
【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，解题时要注意二次函数性质的合理运用，是中档题．
6．椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，恰好是含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】分类讨论；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意可得tan30°= ，或tan60°= ，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：由于椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，
是一个含60°角的菱形的四个顶点，
则tan30°= ，或tan60°= ，
当 = 时，即b= c，即有a= =2c，
由e= = ；
当 = 时，即b= c，即有a= = c，
由e= = ．
可得离心率为 或 ．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
7．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+log35
【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．
【解答】解：∵a5a6=a4a7，
∴a5a6+a4a7=2a5a6=18
∴a5a6=9
∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10
故选B
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．
8．下列命题为真命题的是（ ）
A．已知x，y∈R，则 是 的充要条件
B．当0＜x≤2时，函数y=x﹣ 无值
C．a，b∈R，
D．x∈R，sinx+cosx=
【考点】特称命题．
【专题】证明题；整体思想；综合法；简易逻辑．
【分析】A利用充分条件和必要条件的定义进行判断
B利用函数的单调性进行判断
C根据基本不等式成立的条件进行判断
D根据三角函数的有界性进行判断
【解答】解：A．当x=4，y=1，满足 ，但 不成立，即 不是 的充要条件，故A错误，
B．当0＜x≤2时，函数y=x﹣ 为增函数，则当x=2时，函数取得值，故B错误，
C．当a，b＜0时， 不成立，故C错误，
D．sinx+cosx= sin（x+ ）∈[﹣ ， ]，
∵ ∈[﹣ ， ]，∴x∈R，sinx+cosx= ，故D正确，
故选：D
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件，函数单调性，基本不等式以及三角函数的真假判断，知识点较多，综合性较强，但难度不大．
9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若 ，且 ，则下列关系一定不成立的是（ ）
A．a=c B．b=c C．2a=c D．a2+b2=c2
【考点】余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知第一个等式代入求出cosA的值，确定出A度数，再利用正弦定理化简第二个等式，求出sinB的值，确定出B的度数，进而求出C的度数，确定出三角形ABC形状，即可做出判断．
【解答】解：∵b2+c2﹣a2= bc，
∴cosA= = ，
∴A=30°，
由正弦定理化简b= a，得到sinB= sinA= ，
∴B=60°或120°，
当B=60°时，C=90°，此时△ABC为直角三角形，
得到a2+b2=c2，2a=c；
当B=120°时，C=30°，此时△ABC为等腰三角形，
得到a=c，
综上，b=c不一定成立，
故选：B．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形与等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．
10．已知函数f（x）=（1﹣ ）ex，若同时满足条件：
①x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点；
②x∈（8，+∞），f（x）＞0．
则实数a的取值范围是（ ）
A．（4，8] B．[8，+∞） C．（﹣∞，0）∪[8，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，8]
【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】求导数，由①得到 ；
由②x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
分别解出不等式即可得到实数a的取值范围为4＜a≤8．
【解答】解：由于 ，则 =
令f′（x）=0，则 ，
故函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减
由于x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大于0即可，
当x2＞8，即 时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为 ，此时无解；
当x2≤8，即 时，函数f（x）在（8，+∞）上的最小值为 ，解得a≤8．
又由x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点，故 解得a＞4；
故实数a的取值范围为4＜a≤8
故答案为 A
【点评】本题考查函数在某点取得极值的条件，属于基础题．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．命题“x∈N，x2≠x”的否定是 x∈N，x2=x ．
【考点】命题的否定．
【专题】简易逻辑．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，
∴命题的否定是：x∈N，x2=x．
故答案为：x∈N，x2=x．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
12．在△ABC中，若BC=3，∠A= ，AC= ，则∠C的大小为 ．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形．
【分析】由已知及正弦定理可得sinB= = ，由大边对大角可得0＜B＜ ，即可解得B的值，利用三角形内角和定理即可求C的值．
【解答】解：∵BC=3，∠A= ，AC= ，
∴由正弦定理可得：sinB= = = ，
∵AC＜BC，由大边对大角可得：0＜B＜ ，
∴B= ，
∴C=π﹣A﹣B= ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，大边对大角，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，求B的值是解题的关键，属于中档题．
13．曲线f（x）=xsin x在点（ ， ）处的切线方程是 x﹣y=0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】求导函数，求出切线的斜率，再求出切点的坐标，可得切线方程．
【解答】解：∵f（x）=xsinx，
∴f′（x）=sinx+xcosx，
∴f′（ ）=1，
∵f（ ）= ，
∴曲线f（x）=xsin x在点（ ， ）处的切线方程是y﹣ =x﹣ ，即x﹣y=0．
故答案为：x﹣y=0．
【点评】本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
14．已知函数f（x）的定义域为[1，+∞，且f（2）=f（4）=1，f′（x）是f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如图所示，则不等式组 所表示的平面区域的面积是 3 ．
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】数形结合；不等式的解法及应用．
【分析】根据函数图象，确定f（x）在[1，3）上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，结合f（2）=f（4）=1，可得一个关于x，y的二元一次不等式组，画出满足条件的可行域，根据平面图形，由面积公式可得答案．
【解答】解：由图可知，f（x）在[1，3）上是减函数，在[3，+∞）上是增函数，
又f（2）=f（4）=1，f（2x+y）≤1，
所以2≤2x+y≤4，
从而不等式组为 ，作出可行域如图所示，
其面积为S=×2×4﹣×1×2=3．
故答案为：3
【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，函数的图象与性质，平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．
15．以下几个命题中：其中真命题的序号为 ③④ （写出所有真命题的序号）
①设A，B为两个定点，k为非零常数，| |﹣| |=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②平面内，到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹是抛物线；＜
③双曲线 与椭圆 有相同的焦点；
④若方程2x2﹣5x+a=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则0＜a＜3．
【考点】曲线与方程．
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】①根据双曲线的定义知①不正确；
②说明点（2，1）在直线3x+4y﹣10=0上，不满足抛物线的定义；
③双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率小于1大于0，即可判定；
④求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，即可判定．
【解答】解：①平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，∴①不正确；
②在平面内，点（2，1）在直线3x+4y﹣10=0上，
∴到定点（2，1）的距离与到定直线3x+4y﹣10=0的距离相等的点的轨迹不是抛物线，∴②不正确；
③双曲线 与椭圆 的焦点都是（± ，0），有相同的焦点，正确；
④正确方程2x2﹣5x+a=0的可分别作为椭圆和双曲线的离心率，则 ，∴0＜a＜3，正确；
故答案为：③④．
【点评】本题通过命题真假的判定考查椭圆、双曲线抛物线的定义、性质和曲线的方程与方程的曲线等问题，是综合题目．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．已知命题p：x0∈R，使得 成立；命题q：函数y=loga（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数；
（1）若命题￢p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．
【解答】解：（1）∵命题p：x0∈R，使得 成立
∴￢p：x∈R，ax2﹣2x﹣1≤0成立
∴①a≥0时 ax2﹣2x﹣1≤0不恒成立
②由 得a≤﹣1
（2）∵命题q：函数y=loga（x+1）在区间（0，+∞）上为减函数
∴命题q为真，实数a的取值范围是：0＜a＜1
∵命题“p或q”为真，且“p且q”为假，
∴命题p、q一真一假
①当p真q假时，则 ，得实数a的取值范围，﹣1＜a≤0或a≥1
②当p假q真时，则 ，实数a的取值范围：无解
∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤0或a≥1
【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目
17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．
（Ⅰ）若 ，B=60°，求a，b，c的值；
（Ⅱ）求角B的取值范围．
【考点】等比数列的性质；余弦定理．
【专题】综合题；等差数列与等比数列；解三角形．
【分析】（Ⅰ）利用等比数列的性质，可得b2=ac，再结合余弦定理，即可求a，b，c的值；
（Ⅱ）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求角B的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∵B=60°
∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
联立方程组 ，
解得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（Ⅱ） ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
∵a2+c2≥2ac，∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
∴0°＜B≤60°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】本题考查等比数列的性质，考查余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，正确运用余弦定理是关键．
18．已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，且PF1⊥F1F2，|PF1|= ，|PF2|= ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l过圆x2+y2+4x﹣2y=0的圆心M且交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．
【考点】椭圆的应用．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】解：（Ⅰ）由题意可知2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3， ，由此可求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）解法一：设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．因为A，B关于点M对称．所以 ．解得 ，由此可求出直线l的方程．
（Ⅱ）解法二：设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2且 ，① ，②
由①﹣②得 ．③因为A、B关于点M对称，所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，代入③得直线l的斜率为 ，由此可求出直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=6，a=3．
在Rt△PF1F2中， ，
故椭圆的半焦距c= ，
从而b2=a2﹣c2=4，
所以椭圆C的方程为 =1．
（Ⅱ）解法一：
设A，B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．
已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，
所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．
从而可设直线l的方程为
y=k（x+2）+1，
代入椭圆C的方程得
（4+9k2）x2+（36k2+18k）x+36k2+36k﹣27=0．
因为A，B关于点M对称．
所以 ．
解得 ，
所以直线l的方程为 ，
即8x﹣9y+25=0．
（经检验，所求直线方程符合题意）
（Ⅱ）解法二：
已知圆的方程为（x+2）2+（y﹣1）2=5，
所以圆心M的坐标为（﹣2，1）．
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
由题意x1≠x2且 ，① ，②
由①﹣②得 ．③
因为A、B关于点M对称，
所以x1+x2=﹣4，y1+y2=2，
代入③得 = ，
即直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为y﹣1= （x+2），
即8x﹣9y+25=0．
（经检验，所求直线方程符合题意．）
【点评】本题综合考查直线和圆、椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题，避免错误．
19．数列{an}满足a1=1且8an+1an﹣16an+1+2an+5=0（n≥1）．记 ．
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（法一）（I）由a1结合递推公式可求a2，a3，a4，代入 求b1，b2，b3，b4
（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，观察规律可猜想数列 为等比数列，进而可求bn，结合 ，从而猜想得以证明，代入求出anbn，进而求出前n和sn
（法二）（I） 代入递推公式可得 ，代入可求b1，b2，b3，b4
（II）利用（I）中的递推关系个构造数列 为等比数列，从而可求bn，sn
（法三）（I）同法一
（II）先由（I）中求出的b1，b2，b3，b4的值，观察规律可猜想数列bn+1﹣bn为等比数列，仿照法一再证明猜想，根据求通项的方法求bn，进一步求sn
【解答】解：法一：
（I）a1=1，故 ； ，
故 ； ，
故 ； ，
故 ．
（II）因 ，
故猜想 是首项为 ，公比q=2的等比数列．
因an≠2，（否则将an=2代入递推公式会导致矛盾）故 ．
因 ，
故 确是公比为q=2的等比数列．
因 ，故 ， ，
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = =
法二：
（Ⅰ）由 得 ，代入递推关系8an+1an﹣16an+1+2an+5=0，
整理得 ，即 ，
由a1=1，有b1=2，所以 ．
（Ⅱ）由 ，
所以 是首项为 ，公比q=2的等比数列，
故 ，即 ．
由 ，得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = ．
法三：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ） 猜想{bn+1﹣bn}是首项为 ，
公比q=2的等比数列，
又因an≠2，故 ．
因此 =
；
= ．
因 是公比q=2的等比数列， ，
从而bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=
=
= ．
由 得 ，
故Sn=a1b1+a2b2+…+anbn= = = ．
【点评】本题考查了数列的综合运用：递推关系的运用，构造等比求数列通项，累加求通项，归纳推理的运用，综合考查了考生的推理运算能力．
20．一个截面为抛物线形的旧河道（如图1），河口宽AB=4米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形（如图2），要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土．
（1）建立恰当的直角坐标系并求出抛物线弧AB的标准方程；
（2）试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？
【考点】抛物线的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）以抛物线的顶点为原点，AB中垂线为y轴建立直角坐标系，一依题意可知A，B的坐标，设出抛物线的方程，把点B代入求得p，进而可求得抛物线的方程．
（2）设等腰梯形的腰与抛物线相切于P，则可利用导函数求得P的切线的斜率，表示直线l的方程，分别令y=0和2求得x，利用梯形面积求得面积的表达式，利用基本不等式求得三角形面积的小值．
【解答】解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，AB中垂线为y轴建立直角坐标系
则A（﹣2，2），B（2，2）
设抛物线的方程为x2=2Py（P＞0），
将点B（2，2）代入得P=1
所以抛物线弧AB方程为x2=2y（﹣2≤x≤2）
（2）设等腰梯形的腰与抛物线相切于 ，（不妨t＞0）
则过 的切线l的斜率为y′|x=t=t
所以切线l的方程为： ，即
令y=0，得 ，
令y=2，得 ，
所以梯形面积
当仅当 ，即 时，“=”成立
此时下底边长为
答：当梯形的下底边长等于 米时，挖出的土最少．
【点评】考查待定系数法求曲线方程的知识；考查直线方程的知识；考查由函数导数或判别式法求曲线切线的知识；考查应用函数单调性或不等式求函数最值的知识；考查选择恰当参数建立数学式子研究几何图形的解析几何思维；考查根据实际选择数学模型的能力（即数学建模能力）．
21．如图，动点M到两定点A（﹣1，0）、B（2，0）构成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y=﹣2x+m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（Ⅰ）设出点M（x，y），分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点M的轨迹方程；
（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①，利用①有两根且均在（1，+∞）内
可知，m＞1，m≠2设Q，R的坐标，求出xR，xQ，利用 ，即可确定 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），显然有x＞0，且y≠0
当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，±3）
当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，
化简可得3x2﹣y2﹣3=0
而点（2，±3）在曲线3x2﹣y2﹣3=0上
综上可知，轨迹C的方程为3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）；
（Ⅱ）直线y=﹣2x+m与3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）联立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①
∴①有两根且均在（1，+∞）内
设f（x）=x2﹣4mx+m2+3，∴ ，∴m＞1，m≠2
设Q，R的坐标分别为（xQ，yQ），（xR，yR），
∵|PQ|＜|PR|，∴xR=2m+ ，xQ=2m﹣ ，
∴ = =
∵m＞1，且m≠2
∴ ，且
∴ ，且
∴ 的取值范围是（1，7）∪（7，7+4 ）
【点评】本题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围．
篇2：高二数学上册期末试卷
【一】
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4，则圆C的圆心和半径分别为（）
A．（2，1），4B．（2，﹣1），2C．（﹣2，1），2D．（﹣2，﹣1），2
2．当m∈N*，命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题是（）
A．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0
B．若方程x2+x﹣m=0有实根，则m≤0
C．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m＞0
D．若方程x2+x﹣m=0没有实根，则m≤0
3．已知命题p：x＞0，x3＞0，那么￢p是（）
A．x＞0，x3≤0B．
C．x＜0，x3≤0D．
4．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．8πB．4πC．2πD．π
5．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）
A．=0.4x+2.3B．=2x﹣2.4C．=﹣2x+9.5D．=﹣0.3x+4.4
6．在区间[0，3]上随机地取一个实数x，则事件“1≤2x﹣1≤3”发生的概率为（）
A．B．C．D．
7．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为6，4，则输出a的值为（）
A．0B．2C．4D．6
8．在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为甲、乙，则下列判断正确的是（）
A．甲＜乙，甲比乙成绩稳定B．甲＞乙，甲比乙成绩稳定
C．甲＜乙，乙比甲成绩稳定D．甲＞乙，乙比甲成绩稳定
9．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（）
A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
B．当mα时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C．当mα时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件
D．当mα时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
10．如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值为（）
A．B．C．D．
11．已知命题p：函数f（x）=x2﹣2mx+4在[2，+∞）上单调递增；命题q：关于x的不等式mx2+2（m﹣2）x+1＞0对任意x∈R恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为（）
A．（1，4）B．[﹣2，4]C．（﹣∞，1]∪（2，4）D．（﹣∞，1）∪（2，4）
12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下结论：
①直线A1B与B1C所成的角为60°；
②若M是线段AC1上的动点，则直线CM与平面BC1D所成角的正弦值的取值范围是；
③若P，Q是线段AC上的动点，且PQ=1，则四面体B1D1PQ的体积恒为．
其中，正确结论的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．根据如图所示的算法语句，当输入的x为50时，输出的y的值为．
14．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为．
15．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．
16．若直线y=x+b与曲线y=3﹣有两个公共点，则b的取值范围是．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知命题p：x2﹣8x﹣20≤0，命题q：[x﹣（1+m）][x﹣（1﹣m）]≤0（m＞0），若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
18．已知圆C过点A（1，4），B（3，2），且圆心在x轴上，求圆C的方程．
19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC等边三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．求证：
（Ⅰ）EF∥平面A1BC1；
（Ⅱ）平面AEF⊥平面BCC1B1．
20．某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了20名学生的成绩进行分析，如图是这20名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为[100，110），[110，120），…，[130，140），[140，150]．
（Ⅰ）求图中a的值及成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数；
（Ⅱ）学校决定从成绩在[100，120）的学生中任选2名进行座谈，求此2人的成绩都在[110，120）中的概率．
21．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；
（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角（锐角）的余弦值．
22．已知圆C：x2﹣（1+a）x+y2﹣ay+a=0（a∈R）．
（Ⅰ）若a=1，求直线y=x被圆C所截得的弦长；
（Ⅱ）若a＞1，如图，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M的动直线l与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点．问：是否存在实数a，使得对任意的直线l均有∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．
【二】
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知抛物线的标准方程为x2=4y，则下列说法正确的是（）
A．开口向左，准线方程为x=1B．开口向右，准线方程为x=﹣1
C．开口向上，准线方程为y=﹣1D．开口向下，准线方程为y=1
2．命题p：x0＞1，lgx0＞1，则￢p为（）
A．x0＞1，lgx0≤1B．x0＞1，lgx0＜1C．x＞1，lgx≤1D．x＞1，lgx＜1
3．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简++=（）
A．B．C．D．
4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，事件A表示“2名学生全不是男生”，事件B表示“2名学生全是男生”，事件C表示“2名学生中至少有一名是男生”，则下列结论中正确的是（）
A．A与B对立B．A与C对立
C．B与C互斥D．任何两个事件均不互斥
5．已知甲、乙两名同学在某项测试中得分成绩的茎叶图如图所示，x1，x2分别表示知甲、乙两名同学这项测试成绩的众数，s12，s22分别表示知甲、乙两名同学这项测试成绩的方差，则有（）
A．x1＞x2，s12＜s22B．x1=x2，s12＞s22
C．x1=x2，s12=s22D．x1=x2，s12＜s22
6．设直线l的方向向量是=（﹣2，2，t），平面α的法向量=（6，﹣6，12），若直线l⊥平面α，则实数t等于（）
A．4B．﹣4C．2D．﹣2
7．执行如图程序框图，若输出的S值为62，则判断框内为（）
A．i≤4？B．i≤5？C．i≤6？D．i≤7？
8．下列说法中，正确的是（）
A．命题“若x≠2或y≠7，则x+y≠9”的逆命题为真命题
B．命题“若x2=4，则x=2”的否命题是“若x2=4，则x≠2”
C．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是“若x＜﹣1或x＞1，则x2＞1”
D．若命题p：x∈R，x2﹣x+1＞0，q：x0∈（0，+∞），sinx0＞1，则（￢p）∨q为真命题
9．知点A，B分别为双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为（）
A．B．2C．D．
10．如图，MA⊥平面α，AB平面α，BN与平面α所成的角为60°，且AB⊥BN，MA=AB=BN=1，则MN的长为（）
A．B．2C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．若双曲线﹣=1的焦距为6，则m的值为．
12．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中，抽取一个容量为100的样本，则应从丙地区中抽取个销售点．
13．已知两个具有线性相关关系的变量x与y的几组数据如下表
x3456
y
m4
根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+，则m=．
14．在长为4cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长等于线段AC，CB的长，则矩形面积小于3cm2的概率为．
15．已知圆E：（x+1）2+y2=16，点F（1，0），P是圆E上的任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q，则动点Q的轨迹方程为．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16．已知实数p：x2﹣4x﹣12≤0，q：（x﹣m）（x﹣m﹣1）≤0
（Ⅰ）若m=2，那么p是q的什么条件；
（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
17．一果农种植了1000棵果树，为估计其产量，从中随机选取20棵果树的产量（单位：kg）作为样本数据，得到如图所示的频率分布直方图．已知样本中产量在区间（45，50]上的果树棵数为8，．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a，b的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这20棵果树产量的中位数；
（Ⅲ）根据频率分布直方图，估计这1000棵果树的总产量．
18．盒子中有5个大小形状完全相同的小球，其中黑色小球有3个，标号分别为1，2，3，白色小球有2个，标号分别为1，2．
（Ⅰ）若从盒中任取两个小球，求取出的小球颜色相同且标号之和小于或等于4的概率；
（Ⅱ）若盒子里再放入一个标号为4的红色小球，从中任取两个小球，求取出的两个小球颜色不同且标号之和大于3的概率．
19．如图，等边三角形OAB的边长为8，且三个顶点均在抛物线E：y2=2px（p＞0）上，O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：A、B两点关于x轴对称；
（Ⅱ）求抛物线E的方程．
20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=CC1=3，D为AB的中点
（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；
（Ⅱ）求异面直线AC1与CB1所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角D﹣CB1﹣B的余弦值．
21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），点M（﹣2，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知斜率为k的直线l过椭圆C的右焦点F2，与椭圆C相交于A，B两点．
①若|AB|=，求直线l的方程；
②设点P（，0），证明：为定值，并求出该定值．
篇3：高二数学上册期末试卷
一、选择题( 共 12 题 ,共 48 分)
1、如图 所示，在河岸 ac 一侧测量河的宽度，测量以下四组数据，较适宜的是( )．
a． c ， α ， γ b． c ， b ， α
c． c ， a ， β d． b ， α ， γ
2、从 a 处望 b 处的仰角为 α ，从 b 处望 a 处的俯角为 β ，则 α ， β 的关系是( )．
a． α ＞ β b． α ＝ β
c． α + β ＝90° d． α + β ＝180°
3、如图，已知两座灯塔 a 和 b 与海洋观测站 c 的距离都等于 a km，灯塔 a 在观测站 c 的北偏东20°，灯塔 b 在观测站 c 的南偏东40°，则灯塔 a 与灯塔 b 的距离为( )．
a． a km b． km c． km d．2 a km
4、在高20 m的楼顶测得对面一塔顶的仰角 为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度为( )．
a． m b． m
c． m d． m
5、在△ abc 中，若sin a ∶sin b ＝2∶5，则边 b ∶ a 等于( )．
a．2∶5或4∶25 b．5∶2 c．25∶4 d．2∶5
6、在△ abc 中，sin 2 a －sin 2 c +sin 2 b ＝sin a sin b ，则∠ c 为( )．
a．60° b．45° c．120° d．30°
7、在△ abc 中，已知 a ＝4， b ＝6，∠ c ＝120°，则sin a 的值为( )．
a． b． c． d．
8、△ abc 的三个内角∠ a ，∠ b ，∠ c 所对的边分别为 a ， b ， c ， a sin a sin b + b cos 2 a ＝ ，则 ＝( )．
a． b． c． d．
9、根据下列条件，确定△ abc 有两解的是( )．
a． a ＝18， b ＝20，∠ a ＝120°
b． a ＝60， c ＝48，∠ b ＝60°
c． a ＝3， b ＝6，∠ a ＝30°
d． a ＝14， b ＝16，∠ a ＝45°
10、在△ abc 中，∠ a ∶∠ b ∶∠ c ＝1∶2∶3，那么三边之比 a ∶ b ∶ c 等于( )．
a．1∶2∶3 b．3∶2∶1
c．1∶ ∶2 d．2∶ ∶1
11、在△ abc 中， a ＝2，∠ a ＝30°，∠ c ＝45°，则 s △ abc ＝( )．
a． b． c． d．
12、在△ abc 中，∠ a ，∠ b ，∠ c 的对边分别是 a ， b ， c ． 若 a 2 － b 2 ＝ ，sin c ＝ sin b ，则∠ a ＝( )．
a．30° b．60° c．120° d．150°
第II卷（非选择题）
试卷第二部分共有 10 道试题。
二、填空题( 共 4 题 ,共 12 分)
1、如图为曲柄连杆结构示意图，当曲柄 OA 在 OB 位置时，连杆端点 P 在 Q 的位置，当 OA 自 OB 按顺时针旋转 α 角时， P 和 Q 之间的距离为 x ，已知 OA ＝25 cm， AP ＝125 cm，若 OA ⊥ AP ，则 x 等于__________(精确到0.1 cm)．
2、一船在海面 A 处望见两灯塔 P ， Q 在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航 行4海里到达 B 处，望见灯塔 P 在正西方向，灯塔 Q 在西北方向，则两灯塔的距离为__________．
3、在△ ABC 中， ， ， ，则 b ＝________.
4、在平行四边形 ABCD 中， ， ，∠ BAC ＝45°，则 AD ＝________.
三、解答题( 共 6 题 ,共 51 分)
1、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的 A ， B ， C 三点进行测量．已知 AB ＝50 m， BC ＝120 m，于 A 处测得水深 AD ＝80 m，于 B 处测得水深 BE ＝200 m，于 C 处测得水深 CF ＝110 m，求∠ DEF 的余弦值．
2、如图， A ， B 两个小岛相距21海里， B 岛在 A 岛的正南方，现在甲船从 A 岛出发，以9海里/时的速度向 B 岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60°方向行驶，行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离．
3、为了测定不能到达底部的铁塔的高 PO ，可以有哪些方法？
4、在△ ABC 中， a ＝8， b ＝7，∠ B ＝60°，求 c 及 S △ ABC ．
5、在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 a 2 － c 2 ＝2 b ，且sin B ＝4cos A sin C ，求 B ．
6、在△ ABC 中，已知( a 2 + b 2 )sin(∠ A －∠ B )＝( a 2 － b 2 )sin(∠ A +∠ B )，试判断△ ABC 的形状．
∴ CE ＝ AE tan 60°＝ m，
∴ CD ＝ CE + ED ＝ m.
5、B
6、A
7、A
解析： 由余弦定理可求得 ，再由正弦定理得 .
8、D
9、D
解析： ，又 b ＞ a ，
∴∠ B 有两解．故△ ABC 有两解．
10、C
解析： 易知∠ A ＝ ，∠ B ＝ ，∠ C ＝ ，
∴ a ∶ b ∶ c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶ ∶2.
11、C
解析： 由 得 ，∠ B ＝105°，
S △ ABC ＝ ac sin B ＝ .
12、A
解析： 利用正弦定理，sin C ＝ sin B 可化为 ．
又∵ ，
∴ ，
即 a 2 ＝7 b 2 ， ．
在△ ABC 中， ，∴∠ A ＝30°.
二、填空题
1、22.5 cm
解析： x ＝ PQ ＝ OA + AP － OP ＝25+125－ ≈22.5(cm)．
2、 海里
解析： 如图，
在△ ABP 中， AB ＝4，∠ BAP ＝60°，∠ ABP ＝45°，
∴∠ APB ＝75°.由正弦定理得 ．
又在△ ABQ 中，∠ ABQ ＝45°+45°＝90°，∠ PAB ＝60°，∴ AQ ＝2 AB ＝8，于是 PQ ＝ AQ － AP ＝ ，
∴两灯塔间距离为 海里．
3、
解析： ∵ ，∴ ， S △ ABC ＝ ab sin C ＝ ，即 ，∴ .
4、
解析： BC 2 ＝ AB 2 + AC 2 －2 AB AC cos∠ BAC ＝48，
∴ ，∴ .
三、解答题
1、 解： 如图，作 DM ∥ AC 交 BE 于 N ，交 CF 于 M .
(m)，
(m)，
(m)．
在△ DEF 中，由余弦定理的变形形式，得
cos∠ DEF ＝
.
①当9 t ＜21，即 时， C 在线段 AB 上，
此时 BC ＝21－9 t .
在△ BCD 中， BC ＝21－9 t ， BD ＝6 t ，
∠ CBD ＝180°－60°＝120°，由余弦定理知 CD 2 ＝ BC 2 + BD 2 －2 BC BD cos 120°＝(21－9 t ) 2 +(6 t ) 2 －2×(21－9 t )6 t ＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189.
∴当 t ＝2时， CD 取得最小值 .
②当 时， C 与 B 重合，
则 .
③当 时， BC ＝9 t －21，
则 CD 2 ＝(9 t －21) 2 +(6 t ) 2 －2(9 t －21)6 t cos 60°＝63 t 2 －252 t +441＝63( t －2) 2 +189＞189.
综上可知，当 t ＝2时， CD 取最小值 .
答：行驶2 h后， 甲、乙两船相距最近为 海里．
3、 解 ： 方法一：在地面上引一条基线 AB ，这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出 AB 的长，用经纬仪测出角 β ， γ 和 A 对塔顶 P 的仰角 α 的大小，则可求出铁塔 PO 的高．计算方法如下：
如图所示，在△ ABO 中，由正弦定理得
，
在Rt△ PAO 中， PO ＝ AO tan α ，
∴ .
方法二：在地面上引一条基线 AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，且 AB 延长后不过点 O .测出 AB 的长、张角∠ AOB (设为 θ )及 A ， B 对塔顶 P 的仰角 α ， β ，则可求出铁塔 PO 的高，计算方法如下：
如图所示，在Rt△ POA 中， AO ＝ PO cot α ，
在Rt△ POB 中， BO ＝ PO cot β ，
在△ AOB 中，由余弦定理得 OA 2 + OB 2 －2 OA OB cos θ ＝ AB 2 ，
∴ .
方法三：在地面上引一条基线 AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，并使 A ， B ， O 三点在一条直线上，测出 AB 的长和 A ， B 对塔顶 P 的仰角 α ， β ，则可求出铁塔 PO 的高．计算方法如下：
如图所示，在△ PAB 中，由正弦定理得
，
在Rt△ PAO 中， PO ＝ PA sin α ，
∴ .
4、 解： 由余弦定理得8 2 + c 2 －2×8× c ×cos 60°＝7 2 ，即 c 2 －8 c +15＝0，∴ c ＝3或5.
当 c ＝3时， ；
当 c ＝5时， .
5、 解： 由余弦定理得 a 2 － c 2 ＝ b 2 －2 bc cos A ，又 a 2 － c 2 ＝2 b ， b ≠0，∴ b ＝2 c cos A +2.由正弦定理得 ， 又由已知得 ，∴ b ＝4 c cos A ，由 可得 b ＝4.
6、 解： 由已知有 a 2 sin(∠ A －∠ B )+ b 2 sin(∠ A －∠ B )＝ a 2 sin(∠ A +∠ B )－ b 2 sin(∠ A +∠ B )，即2 a 2 cos A sin B －2 b 2 cos B sin A ＝0，
∴ a 2 cos A sin B － b 2 sin A cos B ＝0.
由正弦定理，上式可化为sin 2 A cos A sin B －sin 2 B sin A cos B ＝0，
即sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0，
∵sin A ≠0，sin B ≠0，
∴sin A cos A －sin B cos B ＝0，即sin 2 A ＝sin 2 B ，
∴2∠ A ＝2∠ B 或2∠ A +2∠ B ＝π，
∴∠ A ＝∠ B 或∠ A + ∠ B ＝ .
故△ ABC 为等腰三角形或直角三角形．
